1. 脈沖響應函數
向量自回歸(VAR)可以寫為向量移動平均(VMA)形式，追蹤變數時間路徑。雙變數1階模型矩陣形式為：
通過向量自回歸（VAR）介紹（二），我們有VMA形式模型：
變數是當期與過去值表示的兩種脈沖值。
序列重寫式(2)有深意。
向量自回歸（VAR）介紹（一）中，誤差向量可寫為：
式(2)和式(3)結合，得到：
簡化使用2×2矩陣，矩陣元素表示為，定義為：
式(4)表示為：
或更緊湊形式為：
移動平均表達式檢驗序列與相互作用，系數構造脈沖對序列的整個時間路徑影響。
元素是效應乘數。例如，系數是指對當期產生的影響。同樣，和是單位變化對在1個時期的響應。修正1期為和，表示單位變化對產生的影響。
單位脈沖的累積效果通過脈沖響應函數系數加總獲得。例如，在期後，對的值影響為。因此，在期後，對序列影響的累積和為。
稱為脈沖響應函數。脈沖響應函數繪圖展示與對各種沖擊的響應行為。
識別脈沖響應需在雙變數VAR模型中附加約束條件。一種識別約束是Choleski分解，通過令原始系統中的表示。分解約束系統中潛在的但極其重要的不對稱性，因為沖擊在當期對和有重要影響。
假設誤差表達式為，圖1追蹤單位沖擊對序列時間路徑上產生的影響。
圖1-a)中，單位沖擊導致跳躍1個單位，跳躍0.8個單位。下一期，返回0，系統自回歸特徵是和。因為，得到，類似地，。隨後，序列對收斂於其長期水平。
圖1-b)顯示中的單位沖擊導致單位沖擊產生的影響。比較圖1-a)和圖1-b)，可以看出分解的不對稱性。中的單位沖擊導致值增加了1個單位，但對沒有當期的影響，所以。隨後一個時期內，回復到0，系統自回歸特徵是，。因為系統平穩，脈沖響應隨時間推移最終衰減。
參考文獻：沃爾特·恩格斯.《應用計量經濟學：時間序列分析》.機械工業出版社.2012
2. var模型有什麼特點
VAR模型的特點包括：
1. 多元性：VAR模型能夠處理多個時間序列數據，可以同時分析多個變數之間的關系，而不僅僅是單一變數的時間序列分析。這使得VAR模型在分析經濟、金融等復雜系統時具有更強的適應性。
2. 動態特性捕捉：VAR模型可以捕捉變數的動態變化，分析隨機擾動對系統的影響，並通過脈沖響應函數和方差分解等手段研究系統的動態特性。這對於預測和策略決策具有重要意義。
3. 預測功能強大：由於VAR模型基於數據的統計性質進行建模，它能夠通過歷史數據來預測未來的發展趨勢。此外，VAR模型的預測功能還可以通過不同變數的組合來實現對復雜系統的全面預測。
4. 結構簡潔：VAR模型的結構相對簡單明了，容易理解和應用。在參數估計和模型檢驗方面也有較為成熟的方法和技術。
詳細解釋如下：
VAR模型是一種常用的計量經濟學模型，主要用於分析多個時間序列變數之間的動態關系。其特點在於能夠處理多元數據，並捕捉變數間的動態交互作用。由於VAR模型基於統計性質進行建模，它能夠從歷史數據中提取有用的信息，並對未來發展趨勢進行預測。此外，VAR模型還可以通過脈沖響應函數和方差分解等方法，研究系統中變數間的相互影響，為決策提供支持。相比於其他模型，VAR模型的結構相對簡單，易於理解和應用。因此，它在經濟、金融等領域得到了廣泛的應用。